Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Отрезок MN с концами на боковых сторонах является средней линией треугольника и равен

Решение: Центр О описанной окружности лежит на медиане, проведенной к основанию треугольника.

Медиана проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой (свойство равнобедренного треугольника)  .

Cредняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Поэтому AC=2*MN=2*корень (15).

Пусть ВК – медиана, проведенная к основанию АС, тогда

АК=СК=1\2*АС=

1\2* 2*корень (15)=корень(15).

1 случай) Если центр О описанной окружности лежит внутри треугольника АВС, тогда:

По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2

OK^2=8^2-(корень(15))^2=49

ОК=7

ВК=ОВ+ОК=8+7=15.

По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.

ML=NL=1\2*MN=1\2*корень (15).

По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KL

BL=KL=1\2*BK=1\2*15=7.5

LO=OB-BL

LO=8-7.5=0.5

MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO.

По теореме Пифагора:

OM^2=LO^2+ML^2

OM^2=0.5^2+(1\2*корень (15))^2=4

OM=2

2 случай) Если центр О описанной окружности лежит вне треугольника АВС, тогда:

По теореме Пифагора OK^2=OA^2-АK^2

OK^2=8^2-(корень(15))^2=49

ОК=7

ВК=ОВ-ОК=8-7=1.

По теореме Фалеса так как MN||AC, АК=СК, то МL=NL, где L– точка пересечения медианы ВК и средней линии MN.

ML=NL=1\2*MN=1\2*корень (15).

По теореме Фалеса так как MN||AC, АМ=СМ, CN=BN, значит BL=KL

BL=KL=1\2*BK=1\2*1=0.5

LO=OB-BL

LO=8-0.5=7.5

MN||AC, ВК перпендикулярна к АС, значит ВК перпендикулярна к MN, значит треугольник LMO прямоугольный с прямым углом MLO.

По теореме Пифагора:

OM^2=LO^2+ML^2

OM^2=7.5^2+(1\2*корень (15))^2=60

OM=корень(60)=2*корень(15)

з.і. вроде так*