Даны точки A(-8;3), B(-7;-1), C(-23;-5). В треугольнике ABCнайдите, а) угол B; б) координаты центра тяжести; в) координаты центра описанной окружности.

Решение: Найдем длины сторон треугольника по формуле длины отрезка по заданным координатам его вершин:

d=корень((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)

AB=корень((-8-(-7))^2+(3-(-1))^2)=корень(17)

BC= корень((-7-(-23))^2+(-1-(-5))^2)=корень(272)=4*корень(17)

АС= корень((-8-(-23))^2+(3-(-5))^2)=17

По теореме косинусов

cos B=(AB^2+BC^2-AC^2)\(2*AB*BC)=

=(17+272-289)\(2* корень(17)* 4*корень(17))=0

значит угол B равен 90 градусов

или по обратной теореме Пифагора

так как AB^2+BC^2=AB^2  (17+272=289), то угол В равен 90 градусов

б) центр тяжести треугольника – точка пересечения медиан

Медианы треугольника пересекаються и точкой пересечения делятся в отношении 2:1

Ищем координаты точки D – середины отрезка AB по соответствующим формулам

x=(x1+x2)\2 y=(y1+y2)\2

 x=(-8+(-7))\2=-7.5

y=(3+(-1))\2=1

D (-7.5;1)

Ищем координаты центра тяжести M по сотвествующим формулам

x=(x1+m*x2)\(1+m), y=(y1+m*y2)\(1+m)

x=(-23+2*(-7.5))\(1+2)=-38\3

 y=(-5+2*1)\(1+2)=-1

M(-38\3;-1)

в) центр описанной окружности находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника, пусть O (x;y) – координаты центра описанной окружности,

по формуле длины отрезка по заданным координатам вершин, составляем систему уравнений:

(x+8)^2+(y-3)^2=(x+7)^2+(y+1)^2

(x+8)^2+(y-3)^2=(x+23)^2+(y+5)^2

Решаем систему

x^2+16x+64+y^2-6y+9=x^2+14x+49+y^2+2y+1

x^2+16x+64+y^2-6y+9=x^2+46x+529+y^2+10y+25,

2x-8y=-23

-30x-16y=481,

-4x+16y=46

-30x-16y=481,

2x-8y=-23

-34x=527

x=-15.5

2*(-15.5)-8y=-23

-8y=-23+31=8

y=-1

O (-15.5,-1)

Примечание так как треугольник прямоугольній,центр описанной окружности можно было найти – как середину гипотенузы

Ищем координаты точки O – середины отрезка AC по соответствующим формулам

x=(x1+x2)\2 y=(y1+y2)\2

 x=(-8+(-23))\2=-15.5

y=(3+(-5))\2=-1

O (-15.5;-1)