1) Докажите, что при любом натуральном n число 2*7^2n+16^n+8*5^n кратно 11
2) При каких значениях параметра а уравнение
(a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0
имеет два действительных корня, больших -1?
3)Вычислите:
[(sqrt(1-sin^2(153*))+sqrt(tg^2(207*)-sin^2(207*)]*sin(63*)
1. Будем доказывать методом математической индукции.
Проверяем истинность утверждения при n = 1:
а) 2*49 + 16 + 40 = 154 = 11*14 — делится на 11.
б) Предположим, что 2*7^(2k) + 16^k +8*5^k — делится на 11. Где k — произвольное натуральное число.
в) Докажем, что тогда при n = k+1 полученное выражение — тоже делится на 11:
[tex]2*7^{2k+2}+16^{k+1}+8*5^{k+1}=49*(2*7^{2k})+16*16^k+5*(8*5^k)=[/tex]
[tex]5(2*7^k+16^k+8*5^k)+(44*(2*7^{2k})+11*16^k)[/tex]
Теперь четко видно что оба больших слагаемых делятся на 11:
первое — исходя из предположения, второе — имеет 11 как общий сомножитель для своих слагаемых.
Итак мы доказали , что если при произвольном n= k выражение делится на 11, то и при n = k+1 выражение делится на 11.
Значит исходное выражение делится на 11. что и требовалось доказать.
2)[tex](a+1)x^2-(2a+5)x+a=0,\ \ \ \ D=4a^2+20a+25-4a^2-4a=16a+25[/tex]
D>0 a>-25/16 a>-1,5625
[tex]x_{1}=\frac{2a+5+\sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1[/tex]
[tex]x_{2}=\frac{2a+5-\sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1 [/tex]
Разбиваем ОДЗ на две части:
а) (-1; беск)
[tex]2a+5+\sqrt{16a+25}>-2a-2[/tex]
[tex]2a+5-\sqrt{16a+25}>-2a-2[/tex]
[tex]\sqrt{16a+25}>-4a-7[/tex]
[tex]\sqrt{16a+25}<4a+7[/tex]
Первое из написанных неравенств верно. Проверим второе:
16a+25<16a^2+56a+49[tex]16a+25<16a^2+56a+49,\ \ \ \ 16a^2+40a+24>0,\ \ D=64[/tex]
Корни -1; -1,5 Решение с учетом ОДЗ: (-1; беск)
б) (-1,5625; -1)
[tex]{2a+5+\sqrt{16a+25}}<-2a-2[/tex]
[tex]2a+5-\sqrt{16a+25}<-2a-2[/tex]
[tex]\sqrt{16a+25}<-4a-7[/tex]
Правая чать на выбранной области — отрицательна, что недопустимо. Здесь решений нет.
Ответ: (-1; бескон).
3.
[tex][\sqrt{1-sin^2153}+\sqrt{tg^2207-sin^2207}]sin63=[-cos153+\frac{sin^2207}{-cos207}]sin63[/tex]
[tex]=[sin63+\frac{cos^263}{sin63}]sin63=sin^263+cos^263=1[/tex]
Ответ: 1