Перейти к содержимому
Главная страница » Две окружности одинаковых радиусов, равных 6 см, касаются друг друга в точке А. третья окружность с центром в точке А

Две окружности одинаковых радиусов, равных 6 см, касаются друг друга в точке А. третья окружность с центром в точке А

1. Две окружности одинаковых радиусов, равных 6 см, касаются друг друга в точке А. третья окружность с центром в точке А касается первых двух окружностей. Найти радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояния от точки пересечения высот треугольника до его вершин.

3. В треугольник со сторонами 12 см, 9 см и 6 см вписана окружность. Найти отрезки, на которые точки касания окружности делят стороны треугольника.

4. Доказать, что диагонали трапеции и отрезок, соединяющий середины ее оснований, пересекаются в одной точке.

Оцените вопрос

1 комментарий для “Две окружности одинаковых радиусов, равных 6 см, касаются друг друга в точке А. третья окружность с центром в точке А”

  1. 1. Правильно сделать рисунок. К сожалению не проходят вложения.

    Из центров окружностей — первых двух и четвертой — образуется равнобедренный тр-ик О1О2О3 с основанием О1О2= 12 и боковой стороной:

    О1О3=О2О3 = 6+х, где х — искомый радиус 4-ой окр-ти.

    Высота этого тр-ка О3А = 12-х и с другой стороны по теореме Пифагора:

    О3А^2 = (x+6)^2 — 36

    Итак получим уравнение:

    (12-x)^2 = (x+6)^2 — 36

    36x = 144   x = 4

    Ответ: 4 см.

    2. АС = 6, АВ = ВС = 5.  АN,BD,CM — высоты

    AО= CО = AD/cosa, где а = угол МСА = уголNAC = угол ABD

    cosa = BD/АВ = (кор(25-9))/5 = 4/5

    Тогда: АО = СО = 3/(4/5) = 15/4

    OD = AD*tga = 3*3/4 = 9/4

    BO = BD — OD = 4 — (9/4) = 7/4

    Ответ: 15/4;  15/4;  7/4.

    3.Центр впис. окр. — на пересечении биссектрис углов тр-ка АВС.

    r — радиус вписаной окр-ти.

    Из чертежа (надо правильно его выполнить, проведя радиусы в точки касания): отрезки до точек касания равны r/tg(A/2), r/tg(B/2), r/(tg(c/2).

    Тангенс половинного угла считается по формуле tg(a/2) = sina/(1+cosa).

     Итак в нашей задаче надо найти r и тригоном. ф-ии углов тр-ка.

    r=?   S = pr   и   S = кор(p(p-a)(p-b)(p-c)), p = (6+9+12)/2 = 27/2

    S = (27кор15)/4    r = S/p =(кор15)/2

    Функции углов:cosB = (81+36-144)/(2*9*6) = — (1/4), sinB = (кор15)/4

    По теореме синусов: 9/sinC = 12/sinB,  sinC = (3кор15)/16, cosC = 11/16.

    Аналогично: sinA = (кор15)/8, cosA = 7/8.

    Считаем тангенсы:

    tg(A/2) = (кор15)/15;  tg(B/2) = (кор15)/3;  tg(C/2) = (кор15)/9.

    Искомые отрезки равны: 15/2, 9/2, 3/2.

    Попарно по сторонам:

    Ответ:15/2 и 9/2;  9/2 и 3/2;  15/2 и 3/2.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *