Найдите корни многочлена P(x)=x^4-4x^3-3x^2+ax+b, если известно, что при делении P(x) на x^2-3x-4 остаток 2x+1
Оцените вопрос
Похожие вопросы:
- Построите график многочлена P(x)=-3x^4+14x^2-21x^2+12x-2. 1 2) Найдите сумму всех чисел вида [tex]\frac{2}{x_{i}}[/tex], где [tex]x_{i}[/tex] — корни данного многочлена 3) Избавьтесь от
- При делении третьего числа на первое в частном получилось 2, а в остатке 3. При делении второго числа на первое
- При разложении образца неизвестного вещества массой 49 г. получено 13, 44 л кислорода (н. у. ) и твердый остаток, содержащий по массе 52, 35%
Из условия:
[tex]x^4-4x^3-3x^2+ax+b=Q(x)(x+1)(x-4)\ +\ (2x+1).[/tex]
где Q(x) — неизвестный многочлен второй степени с целыми коэффициентами.
(2х+1) — остаток. Перенесем остаток влево:
[tex]x^4-4x^3-3x^2+(a-2)x+(b-1)=Q(x)(x+1)(x-4).[/tex]
Значит х = -1 и х = 4 Являются корнями многочлена в левой части. Подставим эти корни поочередно в многочлен и из равенства полученных выражений 0 получим систему для нахождения a и b:
[tex]x_{1}=-1,\ \ \ \ 1+4-3-(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ -a+b=-3.[/tex]
[tex]x_{2}=4,\ \ \ \ 256-256-48+4(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ 4a+b=57.[/tex]
Решив полученную систему, имеем:
а = 12; b = 9.
Значит исходный многочлен имеет вид: (сразу приравняем 0)
[tex]x^4-4x^3-3x^2+12x+9=0[/tex]
а многочлен Q(x) = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
И другой вид исходного многочлена:
(х-2)(x-4)(x+1)^2 + (2x+1) = 0
В этом виде удобнее считать многочлен при подборе корней.
Устанавливаем первый из интервалов: (2; 3). Методом последовательных приближений находим первый корень: х1 = 2,3 (примерно, с точностью до сотых).
Устанавливаем второй из интервалов: (3; 4). Методом последовательных приближений находим второй корень х2= 3,8 (примерно, с точностью до десятых).
Устанавливаем третий интервал: (-1; 0). Методом последовательных приближений находим: х3 = -0,8 ( с точностью до десятой)
-0,8; 2,3; 3,8.