1. Найти сумму ряда:
3-1/3+3/2-1/6+3/4-1/12+…
2. Исследовать сходимость рядов на основании необходимого и достаточных признаков:
а) [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n^2}[/tex]
б) [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[]{n(n+1)}[/tex]
в) [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n+1}}{{n!}[/tex]
г) [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n}}{{n!}[/tex]
3. Определить тип уравнения и найти его частное решение:
[tex]x^{2}(y+1)dx+(x^{3}-1)(y-1)dy=0[/tex]
y(2)=1
1. Сумма ряда состоит из разности сумм двух беконечно убывающих геометр. прогрессий:
3 + 3/2 + 3/4 +…. b1 = 3, q = 1/2 S1 = b1/(1-q) = 6
1/3 + 1/6 + 1/12 + ….b1 = 1/3, q = 1/2 S2 = b1/(1-q) = 2/3
S = S1 — S2 = 6 — 2/3 = 16/3.
Ответ: 16/3.
2.
а) ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.
an не стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности.
б) Воспользуемся признаком сравнения:
1/кор[n(n+1)] больше 1/(n+1) И так как гармонический ряд с аn = 1/(n+1) — расходится, то и расходится заданный ряд.
в) По признаку Даламбера
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1}=0[/tex]
Ряд сходится.
г) Проверим необходимое условие:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n!}=\infty\[/tex]
Следовательно ряд расходится.
3. Линейное уравнение в полных дифференциалах. Решается методом разделения переменных и последующего интегрирования:
[tex]\frac{x^2dx}{x^3-1}=-\frac{(y-1)dy}{y+1}. \frac{1}{3}\ln(x^3-1) = 2\ln(y+1)-y+C[/tex]
Или:
[tex]\ln(x^3-1) = 6\ln(y+1)-3y+C[/tex]
Это решение в виде функции заданной в неявном виде. Найдем С из начального условия:
у(2)=1
[tex]C = \ln7-6\ln2+3.[/tex]
Тогда ответ:
[tex]\ln(x^3-1)=6lny-3y+(ln7-6ln2+3)[/tex]