В декартовой системе координат даны прямые p и q, определяемые уравнениями соответственно 3y+4x-12=0 и 2y-3x-5=0
Найдите:
а) площадь треугольника, образованного прямыми p и q и осью абсцисс
б) уравнение прямой q’ — образа прямой q при осевой симметрии относительно прямой p
а) 1. Находим координаты вершин треугольника.
— А(х;у) — точка пересечения прямых р и q. Объединяем уравнения этих прямых в ситему и решаем. А([tex]\frac{9}{17}; 3 \frac{5}{17}[/tex])
— B(х;у) — точка пересечения прямой р с осью Ох. у=0
4х-12=0
х=3
В(3;0)
— С(х;у) — точка пересечения прямой q с осью Ох. у=0
-3х-5=0
х=-5/3
С(-5/3;0)
2. Проводим высоту АН. Н(9/17;0)
3. Находим длину стороны ВС и высоты АН по формуле расстояния между точками.
d²=(х₂-х₁)²+(у₂-у₁)²
ВС²=(-(5/3)-3)² = (14/3)²
ВС=14/3
АН²=(9/17 — 9/17)² + (0 — 56/17)² = (56/17)²
АН=56/17
4. Находим площадь треугольника по формуле S=½ah
S=1/2 · 14/3 · 56/17 = [tex]7 \frac{35}{51}[/tex] (кв.ед.)
Ответ.[tex]7 \frac{35}{51}[/tex] (кв.ед.)
Решаем пункт б), вызывающий главные затруднения.
Итак прямая p: 3y+4x-12=0 — ось симметрии
Для нахождения образа прямой q возьмем две точки. Одна останется неизменной, а именно точка пересечения прямых p и q: (9/17; 56/17).
Другая: точка пересечения q с осью У: (0; 2,5). Найдем ее образ, воспользуясь формулами преобразования:
x» = x — [2A(Ax+By+C) / (A^2 + B^2)]
y» = y — [2B(Ax+By+C) / (A^2 + B^2)], где А = 4, В = 3, С = -12
x» = 0 — [8(0+7,5-12)/25] = 36/25
y» = 2,5 — [6(0+7,5-12)/25] = 5/2 + 27/25 = 179/50.
Итак образ q» проходит через две точки: (9/17; 56/17) и (36/25; 179/50)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
(у1-у2)х + (х2-х1)у + (х1у2-х2у1) = 0
Подставляем полученные координаты:
(56/17 — 179/50)х + (36/25 — 9/17)у + (9/17 *179/50 — 36/25 *56/17) = 0
-27х + 86у — 269 = 0