В окружность радиуса 4 см вписан квадрат, в который снова вписана окружность, и т. д. найдите сумму длин всех таких окружностей.

Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр — прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: [tex]d = a \cdot \sqrt{2}[/tex], где a — сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: [tex]d = 2 \cdot R[/tex]. Тогда выразим длину стороны квадрата: [tex]2 \cdot R = a \cdot \sqrt{2} \\a = \frac{2 \cdot R}{\sqrt{2}}[/tex]

Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: [tex]r = \frac{a}{2}[/tex]. Подставив предыдущую формулу в данную, получим: [tex]r = \frac{R}{\sqrt{2}}[/tex].

Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент [tex]r_1 = 4[/tex], знаменатель прогресии [tex]q = \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex].

Сумма всех радиусов равна [tex]S_r = \frac{r_1}{1 — q } = \frac{4}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}}[/tex].

Тогда сумма длин всех окружностей: [tex]C_s = 2 \cdot \pi \cdot S_r = \\= 2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \\ = \frac{8 \cdot \pi \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} — 1} = \\ = 8 \cdot \pi \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + 1)[/tex]