В прямоугольном треугольнике ABCбиссектриса острого угла Aделит катет BCна отрезки 2 см и 4 см. Найдите: c, b, [tex]m_{c}[/tex] , [tex]h_{c}[/tex] , r, R
Главная страница » В прямоугольном треугольнике ABCбиссектриса острого угла Aделит катет BCна отрезки 2 см и 4 см. Найдите: c, b, [tex]m_{c}[/tex],
Решение: АК – биссектрисса угла А ВК=4, СК=2, Угол С – прямой.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (свойство биссектриссы треугольника), тогда
AC\AB=CK\BK
AC\AB=2\4=0.5
AB=2*AC
BC=2+4=6 см
По теореме Пифагора
AC^2+BC^2=AB^2
AC^2+6^2=(2*AC)^2=4*AC^2
3*AC^2=36
AC^2=12
b=AC=корень(12)=2*корень(3) см
c=AB=2*AC=2* 2*корень(3)=4*корень(3) см
Медиана проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине длины гипотенузы
m ( c )=1\2*c=1\2*4*корень(3)=2*корень(3) см
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов
S=1\2*a*b=1\2*6*2*корень(3)= 6*корень(3) см^2
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на длину основания, к которому она приведена
S=1\2*c*h(c)
Высота равна h(c)=2*S\c=2*6*корень(3)\( 4*корень(3))=3 см
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы
R=1\2*c=1\2*4*корень(3)=2*корень(3) см
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен
r=(a+b-c)\2=(6+2*корень(3)-4*корень(3))\2=3-корень(3) см
1)AV — биссектриса
по св-ву бисскетрисы => что AC\AB = CV\VB = 1\2
т.к. AB = 2AC => что угол ABC = 30 градусов, угол CAB = 60 градусов
AB = BC\cos30 = 12\корень из 3
AC = 6\корень из 3
2)CM — медиана
Рассмотрим треугольник CAM
AM = 6\корень из 3 = AC
по теореме косинусов находим медиану
3)Пусть CK — высота
Рассмотрим треугольник AKC
AK = ACcos60 = 3\корень из 3
KB = AB — AK = 3
KC^2 = AK KB = 9 корней из 3
4)Sabc = CBAC\2 = 18\корней из 3
p=(9+3корня из 3)\корень из 3
r = S\p = 6\(6+корень из 3)
R = abc\4S = 2\корень из 3